2次系に対する単位ステップ応答


 次式の伝達関数をもつ2次系に対する単位ステップ応答を調べてみましょう。




簡単な計算から,この伝達関数に対する極は s=ωn(-ζ±j(1-ζ2)1/2) で与えられます。 最初に,ωn=1 として,ζの値が応答に与える影響を調べてみましょう。
>> tt=0.0:0.01:10.0;
>> y1=[];
>> for zz=0.1:0.2:1.1, y1=[y1 step(1,[1 2*zz 1],tt)];, end
>> plot(tt,y1),grid
ζを変えたときに2次系に対するステップ応答


図中,黄色が ζ=0.1,マゼンダが ζ=0.3,水色が ζ=0.5 ... です。いかがでしょうか。 ζ=0.7 あたりがオーバシュートも大きくなく,また整定時間も短い応答のようです。 このζ=0.7 は,共役複素根の実部と虚部がほぼ一致する地点です。 ζの値がこれより大きいと非振動的な応答となり,逆に小さいと振動的な応答となる傾向にあります。

 次に,極の実部の応答に与える影響を調べてみましょう。そのためにζ=0.7 として ωn を変えてみます。

>> y2=[]; om=[0.5 1 2 3 5];
>> for ii=1:length(om)
y2=[y2 step(om(ii)*om(ii),[1 2*0.7*om(ii) om(ii)*om(ii)],tt)];
end
>> plot(tt,y2),grid
ωを変えたときに2次系に対するステップ応答


図中,黄色が ωn=0.5,マゼンダが ωn=1, 水色が ωn=2 ... です。ωnが大きくなるほど, すなわち根の実部がより小さくなるほど応答性が高くなることがわかります。 ここで,オーバシュートがいずれの ωn に対しても同じであることに注意して下さい。 実は,オーバシュートの量は ζ によってのみ定まります。 これは簡単な計算で調べることができますので,興味ある方は調べてみてください。